l  Einleitung                                                     10

1.1    Der erste Ansatzpunkt

Die üblichen Ansätze zur konformen Ellipsoid-Abbildung gehen von komple-
xen analytischen Funktionen zwischen isometrischen Flächenparametern
aus, die in differentieller Form gegeben sind (zB.Großmann 1976 S.137,
Jordan/Eggert/Kneissl 1958 S.1103). Das Problem der numerischen Umrech-
nungen zwischen den Koordinaten-Systemen liegt daher in der Integration
von komplexen Differential-Quotienten (DQU).

Komplexe Funktionen sind Verallgemeinerungen der entsprechenden reellen
Funktionen, ohne daß sie sich formal unterscheiden. Für die numerische
Rechnung sind dann jedoch die mathematischen Grundoperationen und ele-
mentaren Funktionen in komplexer Arithmetik zu verwenden. Diese Fest-
stellung hält bereits den ersten Ansatzpunkt für kurze und übersichtli-
che Formulierungen von Algorithmen fest, daß man nämlich die Anwendung
der komplexen Arithmetik dem Rechner, also dem Computer überläßt.

Mit diesem Kunstgriff können auch die "klassischen" geodätischen Verfah-
ren zur Integration der DQU, die Tayiorreihen und Trigonometrischen Rei-
hen, als schnelle Computer-Algorithmen verwendet werden. Die benötigten
Prozeduren für die komplexe Arithmetik können, wo nicht vorhanden, ohne
großen Aufwand selbst erstellt werden.

1.2    Der zweite Ansatzpunkt

Neben Reihenentwicklungen gibt es aber auch viele andere numerische Ver-
fahren zur Integration gegebener DQU , deren Anwendung den zweiten An-
satzpunkt dieser Arbeit bilden. Bei den rein numerischen Verfahren wer-
den zur Berechnung des Integrals ausschließlich einige Werte der zu in-
tegrierenden Funktion an bestimmten Stellen innerhalb der Grenzen des
IntegrationsIntervalls verwendet.

Sie haben dadurch gegenüber Taylorreihen den Vorteil, daß die zu inte-
grierende Funktion alleine und unmittelbar verwendet werden kann. Durch
die Möglichkeit des einfachen Austauschs der Funktion können die numeri-
schen Integrationsverfahren daher als flexible Lösungsbausteine einge-
setzt werden.

1.3    Der dritte Ansatzpunkt

Für die konforme Ellipsoid-Abbildung werden als isometrische Ellipsoid-
Koordinaten gewöhnlich die Geographische Länge und die Isometrische
Breite eingeführt, die in ihrer komplexen Zusammenfassung als Komplexe
Länge oder Mercatorvariable bezeichnet werden (König/Weise 1955 S.2).
Der DQU zwischen den Gaußschen Koordinaten und der Komplexen Länge ist
jedoch eine Funktion der Geographischen Breite, die ihrerseits nicht ge-
schlossen aus der Komplexen Länge berechnet werden kann. Eine Anwendung
numerischer Integrationsverfahren ist unter diesen Umständen nicht sinn-
voll.

Führt man hingegen in einem dritten Ansatzpunkt anstelle der Komplexen
Länge die isometrische Komplexe Breite ein (König/Weise 1955 S.l), so
ist eine direkte komplexe Berechnung des entsprechenden DQU möglich. Die