Die Gaußsche Ellipsoid-Abbildung mit komplexer Arithmetik
und numerischen Näherungsverfahren

1      Einleitung

In Deutschland und vielen anderen Ländern werden Gaußsche Koordinaten
des Rotationsellipsoids als Gebrauchskoordinaten der Landesvermessung
benutzt (Großmann 1976 S.164, Hristow 1950 S.236, Jordan/Eggert/Kneissl
1958 S.1102, Krüger 1912 S.III, 1919 S.5, Schödibauer 1982 S.7). Für den
Umgang mit diesen Koordinaten werden verschiedene Transformations-Be-
rechnungen benötigt. Im Einzelnen sind dies die Transformationen zwi-
schen den Geographischen und den Gaußschen Koordinaten mit Berechnung
des Maßstabsfaktors und der Meridiankonvergenz, die Übertragung der
Gaußschen Koordinaten mit Richtungswinkel und Strecke sowie deren Rück-
rechnung aus den Koordinaten, und die Transformationen zwischen zwei be-
nachbarten Meridianstreifensystemen.

Koordinaten-Transformationen durch mathematische Funktionen werden auch
als Abbildungen bezeichnet. Der Abbildungsbegriff schließt außerdem die
gegenseitige Zuordnung von Koordinatensystemen auf verschiedenen Bezugs-
flächen ein. In Verbindung mit einem ebenen cartesischen System erzeugen
die Gaußschen Koordinaten eine konforme Abbildung des Ellipsoids.

In den letzten Jahrzehnten hat der enorme Fortschritt in der Mikro-EIek-
ironik ständig neue Computer-Generationen hervorgebracht. Nach der Zeit
der großen stationären Rechenanlagen setzen sich nun sehr leistungsfähi-
ge kleine Arbeitsplatz-Computer durch. Bei Feldvermessungen werden immer
häufiger elektronische Geräte eingesetzt, deren Meßergebnisse im Gerät
selbst oder in angeschlossenen kleinen transportablen Computern direkt
weiterverarbeitet werden können. Die zunehmenden Einsatzbereiche kleiner
Computer lassen daher einen wachsenden Bedarf an auf sie zugeschnitte-
nen, möglichst kompakten und schnellen Algorithmen vermuten.

Die neuen Rechenhilfsmittel ermöglichen nun für die geodätischen Berech-
nungen die Anwendung anderer mathematischer Lösungsmethoden als der
"klassischen" Reihenentwicklungen. Erste Ansätze dazu wurden von Schödl-
fcauer (1963) und Dorrer (1966) für die geodätischen Grundaufgaben ent-
wickelt. Die Grundidee zu der vorliegenden Arbeit besteht in der Über-
tragung entsprechender Methoden auf die Gaußschen Koordinaten.

Die aus diesem Gedanken heraus entwickelten Lösungen können durch die
Formulierung der folgenden Ansatzpunkte charakterisiert werden, deren
konsequente Berücksichtigung sowohl zu einigen grundsätzlichen Verände-
rungen bei den Berechnungen mit den Gaußschen Koordinaten als auch zu
einer Reihe von Detailverbesserungen bei den Algorithmen führen.