2     Konforme Abbildungen durch komplexe Funktionen

Konforme Abbildungen sind differentiell winkeltreue Übergänge zwischen
zwei Flächen. Sie sind mathematisch durch komplexe differenzierbare
Funktionen zwischen isometrischen Flächenparametern charakterisiert.

Die komplexen Zahlen und Funktionen gehen aus den reellen durch Ergänzen
aer reellen Zahleneinheit l mit der imaginären Zahleneinheit i ( i²=-l )
hervor. Die beiden Einheiten bilden durch Multiplikation mit einem reel-
len Zahlenpaar u,v die komplexe Zahl w = u + i*v . Die komplexen Zahlen
können für die mathematischen Verknüpfungsoperationen als Summe einer
reellen unä einer imaginären Variablen aufgefaßt werden, die nach der
Verknüpfung unter Berücksichtigung von i²=-1 wieder in reelle und imagi-
näre Anteile sortiert wird. Die komplexen Funktionen können schließlich
durch Taylor-Reihenentwicklungen (3.1.1) definiert werden, indem dort
auch komplexe Variable zugelassen werden (Dreszer 1975 S.550).

Für die Formulierung einer allgemeinen Abbildung wird nun von zwei Koor-
dinaten-Systemen in komplexer Schreibweise ausgegangen.

w = u + i*v und w'= u' + i*v'

Durch eine komplexe Abbildungs-Funktion F möge dann eine Zuordnung zwi-
schen beiden Systemen erfolgen.

w  =  F ( w' )

Die Abbildungsfunktion soll nun so spezialisiert werden, daß die Koordi-
natensysteme konform aufeinander abgebildet werden. Die Charakteristik
konformer Abbildungen liegt dann, daß der Schnittwinkel zweier beliebi-
ger Kurven bei der Abbildung erhalten bleibt, also in beiden Koordina-
tensystemen gleich ist.

Dies ist dann gegeben, wenn das Maßstabsverhältnis der Koordinaten
m = (dw'/dw) bei differentieller Annäherung an den Schnittpunkt entlang
beliebiger Kurven immer dem gleichen Grenzwert zustrebt. Die partiellen
Ableitungen der komplexen Abbildungsfunktion nach ihrem Real- und Imagi-
närteil sind Grenzwerte dieses Maßstabsverhältnisses entlang den Koordi-
natenlinien. Als Bedingung für eine konforme Abbildung ist ihre Gleich-
heit notwendig und hinreichend.

Leider schafft die Texterkennung für die Formeln keine brauchbaren Ergebnisse mehr!

Restexemplare sind noch bei der Universität der Bundeswehr München und bei mir erhältlich.